ブール代数

ブール代数、エンティティ間の関係（アイデアまたはオブジェクト）を表す数学的論理の記号システム。このシステムの基本ルールは1847年にイングランドのジョージブールによって策定され、その後他の数学者によって改良され、集合論に適用されました。今日、ブール代数は確率の理論、集合の幾何学、情報理論にとって重要です。さらに、それは電子デジタルコンピュータで使用される回路の設計の基礎を構成します。

ブール代数では、一連の要素が2つの可換バイナリ演算の下で閉じられます。これらの演算は、さまざまな仮定のシステムで記述できます。これらのすべては、各演算にアイデンティティ要素が存在するという基本的な仮定から推定でき、各演算はもう一方には分配的であり、セット内のすべての要素には、どちらかの操作の下で最初の要素と結合してもう一方のアイデンティティ要素を生成する別の要素があります。

通常の代数（要素が実数であり、可換バイナリ演算が加算と乗算である）は、ブール代数のすべての要件を満たしません。実数のセットは2つの演算の下で閉じられます（つまり、2つの実数の合計または積も実数です）。識別要素が存在します。加算は0、乗算は1です（つまり、任意の実数aに対してa + 0 = aおよびa ×1 = a）。乗算は加算よりも分散的です（つまり、a ×[ b + c ] = [ a × b ] + [ a × c]）;ただし、加算は乗算よりも分散的ではありません（つまり、a + [ b × c ]は一般に[ a + b ]×[ a + c ] に等しくありません）。

ブール代数の利点は、通常の代数で使用される数値の代わりに、真理値（つまり、特定の命題または論理ステートメントの真偽）が変数として使用される場合に有効であることです。これは、真（真理値1）または偽（真理値0）の命題を操作するのに適しています。このような2つの命題を組み合わせて、論理接続詞、または演算子、ANDまたはORを使用して複合命題を形成できます。 （これらの接続詞の標準記号は、それぞれ∧とareです。）結果の命題の真理値は、使用されるコンポーネントと接続詞の真理値に依存します。たとえば、命題aとb互いに独立して、trueまたはfalseになります。結合命題、生産∧ Bの両方のとき真で、AとBは、そうでない場合は真、およびfalseですが。